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零状态响应,是指电路在零初始状态下(即储能元件的初始能量为零),仅由外加电源激励所产生的电路响应。而零输入响应是指动态电路中无外施激励电源,输入信号为零,仅由动态元件(电感元件或电容元件)的初始储能所产生的响应。
图42-1
上图42-1所示RC串联电路,开关K闭合前电路处于零初始状态,也就是电容电压为零,uC(0-)=0。在t=0时刻,开关K闭合,电路接入直流电压源US。根据回路电压列出KVL方程,可以得到,电阻电压加上电容电压等于电源电压。
根据VCR:uR=iR、i=CduC/dt,代入KVL方程得到一阶线性非齐次方程,如图42-1所示。所谓非齐次,是指等号右边不为零,而是等于US。区别于我们上次所学的RC电路的零输入响应,即“所谓一阶,是指方程中关于uC的导数是一阶导数(duC/dt),在电路中表现为仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的电路;齐次在这里指的是等号右边为零。”
一阶线性非齐次方程的求解,我们直接套用公式,由特解和对应的齐次方程的通解两个分量组成,如图42-2所示。
图42-2
所谓方程的通解,不同的微分方程具有不同的形式,例如我们上次学习中遇到的一阶齐次微分方程,方程的通解为uC =Aept。这是因为对于一个微分方程而言,其解往往不止一个,而是有一组,可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式,就称为通解。而特解是这个方程的所有解当中的某一个,为已知数。
图42-3
我们求解图42-2中的方程,先求其特解,如图42-3所示,特解的求解相对简单,因为它是一个已知数,直接代入方程即可。常数的微分为零,求出特解即为US;而齐次方程的通解,我们在上一次也已经学习过,结合时间常数τ,可以得出特解的公式。后得出非齐次方程的通解如图42-3所示。
现在通解公式中只有一个未知数A,我们代入电容电压t=0 时的初始值uC(0 )=uC(0-)=0,可以求出A=-US。为什么代入初始值呢?曹老师在《电工基础》中也提到,求积分常数A时,可以找t等于某一时刻时的电容电压值代入通解公式,比较容易计算的时间有t=0 时刻和t=∞时刻,那为什么不是选t=∞呢?这是因为t=∞时,Ae-t/τ趋于零,此时计算A无意义。
图42-4
终,我们就可以得到RC电路的零状态响应的电容电压、电路电流的解如图42-4所示。画出电容定压和电流的变化规律,可以看到,电容电压uC以指数形式趋近于它的终恒定值US,当电容电压达到恒定值US后,电压和电流不再变化,此时电容相当于开路,电流为零。此时电路达到稳定状态,简称稳态,所以把电容电压的特解部分称为稳态分量,对应齐次方程的通解部分称为暂态(瞬态)分量。结合我们上次所学的RC电路的零输入响应,可以得出,暂态分量按指数规律衰减,其变化规律取决于特征根(或者说取决于时间常数τ)。
知道了RC电路的零输入响应与零状态响应,接下来学习RC电路的全响应就简单多了。所谓全响应是指当一个非零初始状态的一阶电路(只有一个动态元件)受到外电源激励时,电路的响应。图42-5所示RC串联电路,电容在换路前已充有一定能量,其电压为U0。
图42-5
显然,RC串联电路的全响应和零状态响应之间只差了一个初始值。全响应的方程解如图42-5所示,和图42-4相比较,可以发现,当图42-5中的U0=0时,就变成了图42-4中的结果。其实从另一个角度思考,根据叠加定理,全响应的解恰好是的等于零输入响应的解 零状态响应的解。
图42-6
如图42-6所示,全响应可以分解为零状态响应和零输入响应,也可以分解为瞬态分量和稳态分量,但不管怎么分解,都不过是从不同角度去分析全响应的。简而言之,全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。所以可以利用三要素法求解一阶线性电路微分方程。
在直流电源激励下,若一阶动态电路的初始值为f(0 ),特解为稳态解f(∞),时间常数为τ,则全响应如图42-7所示。只要知道f(0 )、f(∞)和τ这三个要素,就可以根据图42-7的式子直接写出直流激励下一阶电路的全响应。
图42-7
RC电路的零状态响应曲线的起点是零点,类似的,全响应的曲线又是怎样的呢?大家可以自行思考,尝试画一下。
模块 | 6ES7231-4HF32-0XB0 |
模块 | 6ES7288-3AR02-0AA0 |
电源 | 6ES7288-0ED10-0AA0 |
模块 | 6ES7132-6BH01-0BA0 |
模块 | 6ES7231-5PD32-0XB0 |
模块 | 6ES7223-1PL32-0XB0 |
模块 | CTS7214-1AD33-0X24 |
模块 | 6ES7960-1AA08-0XA0 |
模块 | 6ES7288-2QT16-0AA0 |
模块 | 6ES7222-1HH32-0XB0 |
模块 | 6ES7132-6BF01-0AA0 |
存储卡 | 6ES7954-8LL03-0AA0 |
利用三要素法求解RC电路的全响应,主要是计算三要素,初始值我们之间也已经学过了,时间常数完全取决于电路的R和C,电阻的计算可以通过电阻的等效变换计算,后是稳态值,因为电路达到稳态时电容相当于开路,根据这个特性可以很快地算出稳态值。
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